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2014
益陽一模文科
數(shù)學(xué)試題答案
絕密 ★ 啟用前
2014屆益陽市高三模擬考試
數(shù) 學(xué)（文史類）
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，則等于
A． B．C． D．
2．已知為虛數(shù)單位，則等于
A．B．C．D．
3．某工廠有甲、乙、丙三類產(chǎn)品，其數(shù)量之比為，現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，則乙類產(chǎn)品應(yīng)抽取的件數(shù)為
A．B．C．D．
4．“方程有實(shí)數(shù)根”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
5．某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為
A． B． C．D．
6．若向量、滿足、，，則與的夾角為
A．B．C．D．
7．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，
且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為
A．B．
C．D．
8．函數(shù)的部分圖像如圖所示，如果，且，則等于
A．．
．．
9．已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間上有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，，，則的取值范圍是
A． B． C．D．
10．已知點(diǎn)是平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的最小值為若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
11．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的均勻隨機(jī)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為________12．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)極軸與軸的正半軸重合,且單位相同曲線的極坐標(biāo)方程為，則該曲線的直角坐標(biāo)方程 .
13．某程序框圖如右圖所示，則輸出的結(jié)果為 ．
14．的圖象恒過定
點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線上,其中,
則的最小值為_______.
15．某同學(xué)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長為的正方形和，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則．
1） ；
2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．本小題滿分12分
在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.
（）求的值；
（）若為的中點(diǎn)，求、的長.
17．（本小題滿分12分）
如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的投籃命中次數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示.
（Ⅰ）如果乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為，求及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的
方差；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)中,各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為17的概率.
18．本小題滿分12分
如圖所示,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
∥,.
（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在上找一點(diǎn),使得∥平面ADEF,請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置,并給出證明.
19．本小題滿分13分
已知等比數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，，，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：.
20．本小題滿分13分
已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
21．本小題滿分13分
設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）若，求函數(shù)在上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)在存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)的極值點(diǎn).
2014屆益陽市高三模擬考試參考答案
一、選擇題（5分×10=50分）題號(hào)12345678910答案CDBBACBDDC二、填空題（5分×5=25分） 12、 13、
14、 15、(1) (2) 2
三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16.（本小題滿分12分）
解（）,故B為銳角 ………3分
所以 …6分
（2）,
，……………9分
又D為AB中點(diǎn)，所以BD=7
在三角形BCD中，由余弦定理得: ……………12分
17.（本小題滿分12分）
解：(1)依題意得:,解得,……………3分
方差. ……………6分（2）記甲組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為,他們的命中次數(shù)分別為9,7.
乙組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為,他們的命中次數(shù)分別為8,8,9.
,共6種. ……9分
設(shè)“這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為17”為事件C，則C中恰含有共2種.
.……………12分
18.（本小題滿分12分）
解：（）面，面面.
,,.
取.
設(shè),
,,
從而.…………4分（2） 即為CE與面BDE所成的角.
中,,
. ……8分（）D，∴BP∥面ADEF，M、P分別為EC、DC的中點(diǎn)，∥，∴MP∥面ADEF，∴面BMP∥面ADEF，∴BM∥面ADEF.……………12分
19.（本小題滿分13分）
的公比為，由已知，
兩式相除得：，故，.…6分
（2）由（1）知，
……………9分，則，兩式相減得：
，，
，即.……………13分
解：(1)由已知:,,,
所以橢圓方程為.……………4分
（2）由（1）知，.
由題意可設(shè).
由消去,整理得:,
.,
(定值).……9分
(3)設(shè).
若以為直徑的圓恒過的交點(diǎn),
則.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點(diǎn).
……………13分
21.（本小題滿分13分）
解：（1）的定義域?yàn)�，，在上增函�?shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在上的最小值為.……………4分
（2）,設(shè).
依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.
注意到拋物線開口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即實(shí)數(shù)取值范圍是.……………8分
（3），令。
1) 顯然，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
2) 當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
②當(dāng)即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，易知，這時(shí)；
當(dāng)或時(shí)，易知，這時(shí).
時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn). ……13分
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