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2014
東城一模考試理科
數學試題答案
東城區(qū)2013-2014學年度第二學期教學檢測
學校______________班級_________姓名____________考號___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分�？荚嚂r長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題部分（共0分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共0分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，則A∩(RB)＝
A．．．．則z=
A．．．．R，則“a＝-2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與
直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A．．．．的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖象，則的一個可能取值為
A. B. C. D.
5．設a，b是兩個非零向量．則下列命題為真命題的是
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b
B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數λ，使得a＝λb
D．若存在實數λ，使得a＝λb，則|a＋b|＝|a|－|b|
6．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則的最大值為A. B. C. D.
7 已知拋物線：的焦點與雙曲線：的右焦點的連線交于第一象限的點,若在點處的切線平行于的一條漸近線，則
A. B. C. D.
8．設a＞0，b＞0．．，則a＞b
B．，則a＜b
C．，則a＞b
D．，則a＜b
非選擇題部分（共0分）二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分．
記等差數列的前n項和為，已知.
．
10．如圖，與圓相切于，不過圓心的割線與
直徑相交于點.已知∠=，，
,則圓的半徑等于 ．
11. 若函數有零點，則k的取值范圍
為_______.
12．已知圓的方程為,設該圓過點（3，5）的最長弦和最短
弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_______________.
13．已知的展開式中沒有常數項，，且≤ n ≤ 7，則n=______．．R，若x＞0時均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，
則a＝______________．三、解答題：本大題共小題，共分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1．本小題滿分1分的內角所對的邊長分別為，
且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
16．本小題滿分1分表示抽取的3名工人中男工人數，求的分布列及
數學期望.
17．本小題滿分1分中，底面是矩形，平面，，. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.
（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求點到平面的距離.
18.（本小題滿分14分）
已知函數，其中
若在x=1處取得極值，求a的值；
求的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若的最小值為1，求a的取值范圍 .
19．本小題滿分1分(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定
點的坐標．
20.（本題滿分12分）
在數列中，a1=2，b=4，且成等差數列， 成等比數列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此的通項公式，并證明你的結論；
（Ⅱ）證明：2013-2014學年度第二學期教學檢測
一、選擇題： 1．C；7．D；8．A．，必有．，則恒成立，故有函數在x＞0上單調遞增，即a＞b成立．．
二、填空題： ； 12 . 20；13．．．，0)，可得：a＞1；
函數y2＝x 2－ax－1：顯然過點M(，0)，得：，舍去，）
三、解答題：
1．本小題滿分1分Ⅰ）在中，
由正弦定理及
可得
即，則=4. --------6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)得
當且僅當時，等號成立，
故當時，的最大值為. --------13分
16．本小題滿分1分 --------5分
（III）的可能取值為0，1，2，3
,，,
0123P. --------13分
17．本小題滿分1分
（Ⅰ）依題設知，是所作球面的直徑，則M⊥MC。
又⊥平面，則⊥CD，又⊥AD，
⊥平面ＰＡＤ，則⊥AM，⊥平面，
平面⊥平面，又，
則是的中點可得,
，
則
設D到平面ACM的距離為，
由 即，可求得，
設所求角為，則. --------10分
(Ⅲ)可求得PC=6, 因為AN⊥NC，由，得PN,
所以,
故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的.
又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，
由（Ⅱ）可知所求距離為 . --------14分
方法二：
（Ⅱ）如圖所示，建立空間直角坐標系，
則，，，
，，；
設平面的一個法向量，
由可得：，
令，則.
設所求角為，則.
--------10分
（Ⅲ）由條件可得，.
在中，,所以,
則, ，
所以所求距離等于點到平面距離的，
設點到平面距離為則，
所以所求距離為. --------14分
18.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）
∵在x=1處取得極值，∴解得
--------4分
（Ⅱ）
∵ ∴
①當時，在區(qū)間∴的單調增區(qū)間為
②當時，
由
∴
--------10分
（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）①知，
當時，由（Ⅱ）②知，
在處取得最小值
綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是 --------14分
19．本小題滿分1分 (Ⅰ)由題：； (1)
左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：．．． (II)設，由得 ，
，.
以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，
，，
，，解得
，且滿足.
當時，，直線過定點與已知矛盾；
當時，，直線過定點
綜上可知，直線過定點，定點坐標為 --------14分
20.（本題滿分12分）
（Ⅰ）由條件得
由此可得
．
猜測．4分
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即
，
那么當n=k+1時，
．
所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數都成立．7分
（Ⅱ）．
n≥2時，由（Ⅰ）知．
故
綜上，原不等式成立． 12分
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