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理 科Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.共4頁(yè),滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
注意事項(xiàng):
1.答題前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)、區(qū)縣和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.
2.第卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).
3.第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4.填空題請(qǐng)直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
1.已知集合,,則
A. B. C. D.
2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知,那么的值是A. B. C.D.
中,已知,則=
A. B. C. D.
5.的值為,則輸出的的值為
A.3 B.126 C.127 D.128
6.如圖,曲線圍成的陰影部分的面積為
A. B.. D..把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起,形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖的面積為A. B.
C. D.
.下列正確的是A.為真為真充分不必要條件B.,,則;
C.,則不等式 成立的概率是
D.,若,則.
9.焦點(diǎn)的直線交其于,為坐標(biāo)原點(diǎn).若,的面積為
A. B. C. D.
10.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖像對(duì)稱,則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是
A.①④ B.②④ C.②③ D.③④
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
.不等式的解集為已知變量滿足約束條件,則的最大值是 .
13.在直角三角形中,,,,若 .
14.中任取四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是 (用數(shù)字作答).
15.,……,
.若點(diǎn)到的,則等于 .
三、解答題:本大題共6小題,共75分.
16.
已知,,函數(shù).
()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;()在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知,,,求的面積.17.(本題滿分12分)
在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,
,,.在梯形中,∥,且,⊥平面.
()求證:;
()為,求
18.(本題滿分12分)
中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽總決賽采用七場(chǎng)四勝制(即先勝四場(chǎng)者獲勝).進(jìn)入總決賽的甲乙兩隊(duì)中,若每一場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為,乙隊(duì)獲勝的概率為,假設(shè)每場(chǎng)比賽的結(jié)果互相獨(dú)立暫時(shí)領(lǐng)先.
()(),求隨機(jī)變量的分布列和
數(shù)學(xué)期望.本題滿分12分若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,其中為正整數(shù).
()證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列為等比數(shù)列;
設(shè)()中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為,
即,求()在()的條件下,記,求數(shù)列的前項(xiàng)和,并求使的的最小值(本題滿分1分)已知橢圓:)的,,),右焦點(diǎn)為.,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,的中垂線交橢圓于,.
()求橢圓的方程;()求的取值范圍.
4分)
已知函數(shù).
()是函數(shù)的極值點(diǎn),求的值并討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:>.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
. 12. 13. 14.15.
三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.
解:(Ⅰ) …………3分
令(,得(,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. …………6分
(Ⅱ),得,
因?yàn)闉榈膬?nèi)角,由題意知,所以,
因此,解得, …………………………… 8分
又,,, 得,……………… 10分
由,,可得
,…………………11分
所以,的面積 .…12分
17.(理科 本題滿分12分)
解證:(Ⅰ)中,
所以,由勾股定理知所以 . ……2分
又因?yàn)?⊥平面,平面
所以 . ………………………4分
又因?yàn)?所以 ⊥平面,又平面
所以 . ………………………6分
(Ⅱ)⊥平面,又由(),以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .
設(shè),則,,,,,
設(shè)平面的法向量為,則 所以
令.所以. ……………………………9分
又平面的法向量 ……………………………10分
所以, 解得 . ……………………11分
所以的長(zhǎng)為. ……………………………………12分
18.(理科 本題滿分12分)
解: () ,則甲隊(duì)獲勝包括甲隊(duì)以獲勝和甲隊(duì)以獲勝兩種情況.
設(shè)甲隊(duì)以獲勝為事件 ,則 ……………………2分
設(shè)甲隊(duì)以獲勝為事件 ,則 ………4分
…………………………… 6分
(Ⅱ)可能的取值為.
…………………………… 7分
……………………………… 8分
…………… …………… 9分
…………………………………… 10分
(或者) 的概率分布為:
……………………………12分
19.(理科 本題滿分12分(Ⅰ),即 ,
則是“平方遞推數(shù)列”. ……………………………………………2分
對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得 ,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.………4分
(Ⅱ) ……………………………5分
……………………………………8分
(Ⅲ) ……………………………………10分
又,即 …………………11分
又,所以. …………………………………12分
20.(本題滿分1分)() ,所以.橢圓,),
所以.,… 2分
所以橢圓的方程為 …………4分(Ⅱ)當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí),直線AB方程為,此時(shí) ,得.
當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的斜率為), (), , 得,則,故. ………………………………………… 6分
此時(shí)直線, 的直線方程為.即.
聯(lián)立 消去 ,整理得.設(shè) ,
所以.于是
.在橢圓的內(nèi)部,故
令,.
又,所以.
綜上,的取值范圍. …………………… 13分
21.(理科 本題滿分12分)
解證:()是的極值點(diǎn)得,
即,所以. ………………………………2分
于是,,
由知 在上單調(diào)遞增,且,
所以是的唯一零點(diǎn). ……………………………4分
因此,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù) 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. ……………………………6分
(Ⅱ)解法一:當(dāng),時(shí),,
故只需證明當(dāng)時(shí),>. ………………………………8分
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
又,
故在上有唯一實(shí)根,且.…………………10分
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
從而當(dāng)時(shí), 取得最小值且
由得,.…………………………………12分
故
==.
綜上,當(dāng)時(shí),. …………………………14分
解法二:當(dāng),時(shí),,又,所以
. ………………………………………8分
取函數(shù),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,得函數(shù)在時(shí)取唯一的極小值即最小值為. ……12分
所以,而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立,故>.…………………………………14分
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