全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時(shí)間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時(shí)間30分鐘）．

注意事項(xiàng)：

1． 答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號(hào)等信息填寫在答卷規(guī)定的地方．

2．第一部分試題答案均寫在答題卷相應(yīng)位置，答在其它地方無(wú)效．

3．選修物理的考生在第一部分考試結(jié)束后，將答卷交回，再參加加試部分的考試．

 

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）

1． 已知集合 ，則    ▲   ．

2． 若復(fù)數(shù) 是實(shí)數(shù)，則    ▲   ．

3． 已知某一組數(shù)據(jù) ，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為   ▲   ．

4． 若以連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù) 分別作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線 上的概率為   ▲   ．

5． 運(yùn)行如圖語(yǔ)句，則輸出的結(jié)果T＝   ▲   ．

6． 若拋物線 的焦點(diǎn)與雙曲線 的右焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為   ▲   ． 

7． 已知一個(gè)圓錐的底面圓的半徑為1，體積為 ，則該圓錐的側(cè)面積為       ▲   ． 

8． 將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) 的圖象，若 在 上為增函數(shù)，則 最大值為   ▲   ． 

9． 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) ，若點(diǎn) 為平面區(qū)域 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是   ▲   ．

10． 數(shù)列 中， ， （ 是常數(shù)， ），且 成公比不為 的等比數(shù)列，則 的通項(xiàng)公式是   ▲   ． 

11． 若對(duì)任意 ，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的范圍       ▲   ． 

12． 函數(shù) 的圖象上關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱的點(diǎn)有   ▲   ．對(duì).  

13． 在平面直角坐標(biāo)系 中，已知點(diǎn) 是橢圓 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段 的延長(zhǎng)線上，且 ，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值為   ▲   ．

14． 從 軸上一點(diǎn)A分別向函數(shù) 與函數(shù) 引不是水平方向的切線 和 ，兩切線 、 分別與 軸相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB的面積為 ，△OAC的面積為 ，則 + 的最小值為   ▲   ．

二、解答題：（本大題共6道題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15．（本小題滿分14分）

已知函數(shù) .

（1）求 的最小正周期；

（2）在 中， 分別是 A、 B、 C的對(duì)邊，若 ， ， 的面積為 ，求 的值.

 

16．（本小題滿分14分）

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上． 

（1）求證：平面A1BC⊥平面ABB1A1；

（2）若 ，AB=BC=2，P為AC中點(diǎn)，求三棱錐 的體積。

 

17．（本小題滿分15分） 

某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為 億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造為 億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件：①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加；②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少 億元，至多 億元；③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%，但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%。

（1）若 ， ，請(qǐng)你分析能否采用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；

（2）若 、 取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請(qǐng)你求出 、 的取值．

18．（本小題滿分15分）

橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，右準(zhǔn)線為 ，離心率為 ，點(diǎn) 在橢圓上，以 為圓心， 為半徑的圓與 的兩個(gè)公共點(diǎn)是 ．

（1）若 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，求圓的方程；

（2）若 三點(diǎn)在同一條直線 上，且原點(diǎn)到直線 的距離為 ，求橢圓方程．

  

19．（本小題滿分16分）

已知函數(shù) ，  ，（ ）．

（1）求函數(shù) 的極值；

（2）已知 ，函數(shù) ，  ，判斷并證明 的單調(diào)性；

（3）設(shè) ，試比較 與 ，并加以證明．

20．（本小題滿分16分）

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列 為  階“期待數(shù)列”：

① ；② ．

（1）若等比數(shù)列 為  ( )階“期待數(shù)列”，求公比 ；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列 既是  ( )階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記 階“期待數(shù)列” 的前 項(xiàng)和為 ：

（ⅰ）求證： ；

（ⅱ）若存在 使 ，試問(wèn)數(shù)列 能否為 階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 

參考答案

 2013．05

1．     2．     3． 2    4． 

5．625     6．     7．     8． 

9．     10．       11． 

12．3      

13． 

提示：設(shè) ，由 ，得 ，

 = = = ，

研究點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值，僅考慮 ，

 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）．

14．8

提示： ，設(shè)兩切點(diǎn)分別為 ， ，（ ， ），

 ： ，即 ，令 ，得 ；

令 ，得 ．

 ： ，即 ，令 ，得 ；令 ，得 ．

依題意，  ，得 ， 

  + = = = ，

 = ，可得當(dāng) 時(shí)， 有最小值8．

15． 解：（1） 

   4分

    6分

（2）由 ， ， 

又 的內(nèi)角， ，

 ，   8分

 ， ， ，   11分

 ，  14分

16．證：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，

∴A A1⊥BC，

∵AD⊥平面A1BC，

∴AD⊥BC，

∵A A1 ，AD為平面ABB1A1內(nèi)兩相交直線，

∴BC⊥平面ABB1A1，

又∵ 平面A1BC， 

∴平面A1BC⊥平面ABB1A1  

 7分

(2) 由等積變換得 ， 

在直角三角形 中，由射影定理( )知 ， 

∵ ，

∴三棱錐的高為   10分

又∵底面積  12分

∴ =   14分

法二：連接 ，取 中點(diǎn) ，連接 ，∵P為AC中點(diǎn)，  

 , ,　 9分

由（1）AD⊥平面A1BC，∴ ⊥平面A1BC，

∴ 為三棱錐P- A1BC的高， 11分

由（1）BC⊥平面ABB1A1　 ，  12分

 ， 14分

17．解：（1）∵ ，

∴函數(shù)y＝ 是增函數(shù)，滿足條件①。 3分

設(shè) ，

則 ，

令 ，得 。

當(dāng) 時(shí)， ， 在 上是減函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)， ， 在 上是增函數(shù)，

又 ， ，即 ， 在 上是增函數(shù)，

∴當(dāng) 時(shí)， 有最小值0.16=16%>15%，

當(dāng) 時(shí)， 有最大值0.1665=16.65%<22%,

∴能采用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。 9分

（2）由(1)知 ，

依題意，當(dāng) ， 、 時(shí)， 恒成立；

下面求 的正整數(shù)解。

令 ， 12分

由(1)知 ， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，

又由（1）知，在 時(shí)， ，且 =16%∈[15%，22%]，

 合條件，經(jīng)枚舉 ， ∈[15%，22%]，

而 [15%，22%]，可得 或 或 ，

由 單調(diào)性知 或 或 均合題意。 15分

18．解：設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸是 ，半短軸是 ，半焦距離是 ，

由橢圓 的離心率為 ，可得橢圓 方程是 ， 2分

（只要是一個(gè)字母，其它形式同樣得分，）

焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線 ，設(shè)點(diǎn) ，

（1） 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，

則圓半徑為 ，且 到直線 的距離是 ，

又 到直線 的距離是 ， 

所以， ， ，

所以 

所以，圓的方程是 。 6分

（2）因?yàn)?三點(diǎn)共線，且 是圓心，所以 是線段 中點(diǎn)，

由 點(diǎn)橫坐標(biāo)是 得， ， 8分

再由 得： ， ， 

直線 ： ，  12分

原點(diǎn) 到直線 的距離 ，

依題意 ， ，所以 ，

所以橢圓的方程是 ． 15分

19．解：（1） ，令 ，得 ．

當(dāng) 時(shí)， ， 是減函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)， ， 是增函數(shù)．

∴當(dāng) 時(shí)， 有極小值 ， 無(wú)極大值． 4分

（2） 

= = ，

由（1）知 在 上是增函數(shù)，

當(dāng) 時(shí)， ，

即 ，

∴ ，即 在 上是增函數(shù)． 10分

（3） ，由（2）知， 在 上是增函數(shù)，

則 ， 

令 得， ． 16分

20．解：（1）若 ，則由①  =0，得 ，

由②得 或 ．

若 ，由①得， ，得 ，不可能． 

綜上所述， ．

（2）設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ， >0．

∵ ，∴ ，

∴ ，

∵ >0，由 得 ， ，

由題中的①、②得 ，

 ，

兩式相減得， ，  ∴ ，

又 ，得 ，

∴ ．

（3）記 ， ，…， 中非負(fù)項(xiàng)和為 ，負(fù)項(xiàng)和為 ，

則 ， ，得 ， ，

（�。� ，即 ．

（ⅱ）若存在 使 ，由前面的證明過(guò)程知：

 ， ，…， ， ， ，…， ，

且  …  ．

記數(shù)列  的前 項(xiàng)和為 ，

則由（ⅰ）知， ，

∴ =  ，而 ，

∴ ，從而 ， ，

又  …  ，

則 ，

∴ ，

 與 不能同時(shí)成立，

所以，對(duì)于有窮數(shù)列  ，若存在 使 ，則數(shù)列 和數(shù)列  不能為 階“期待數(shù)列”．