學(xué)生   

 

（1）請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并求出這些數(shù)據(jù)的回歸方程；

（2）要從 名數(shù)學(xué)成績在 分以上的同學(xué)中選 人參加一項(xiàng)活動(dòng)，以 表示選中的同學(xué)的物理成績高于 分的人數(shù)，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 的值．

42、十一黃金周，記者通過隨機(jī)詢問某景區(qū)110名游客對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意，得到如下的列聯(lián)表：性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意　單位：名

 男 女 總計(jì)

滿意 50 30 80

不滿意 10 20 30

總計(jì) 60 50 110

(1)從這50名女游客中按對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為5的樣本，問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名？

(2)從(1)中的5名女游客樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率；

(3)根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認(rèn)為“游客性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)滿意”有關(guān)

附： 

P( )

0.050 0.025 0.010 0.005

 

3.841 5.024 6.635 7.879

 

43、如圖在四棱錐 中,底面 是邊長為 的正方形,側(cè)面  底面 ，且 ,設(shè) 、 分別為 、 的中點(diǎn)．

(Ⅰ) 求證：  //平面 ；

(Ⅱ) 求證：面  平面 ； 

(Ⅲ) 求二面角 的正切值．

44、已知橢圓 : 的焦距為 ,離心率為 ,其右焦點(diǎn)為 ,過點(diǎn) 作直線交橢圓于另一點(diǎn) .

(Ⅰ)若 ,求 外接圓的方程;

(Ⅱ)若過點(diǎn) 的直線與橢圓  相交于兩點(diǎn) 、 ，設(shè) 為 上一點(diǎn)，且滿足 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

45. 已知定點(diǎn)A(1，0), B為x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作菱形ABCD,使其兩對(duì) 角線的交點(diǎn)恰好落在y軸上.

(1) 求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡五的方程.

(2) 若四邊形MPNQ的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線E上，M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，曲線E在M點(diǎn)處的切線為l，且PQ//l

①證明直線PN與QN的斜率之和為定值； 

②當(dāng)M的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)大于O, =60°時(shí)，求四邊形MPNQ的面積

46. 對(duì)于函數(shù)f（x）（x∈D），若x∈D時(shí)，恒有 ＞ 成立，則稱函數(shù) 是D上

的J函數(shù)．

  （Ⅰ）當(dāng)函數(shù)f（x）＝m lnx是J函數(shù)時(shí)，求m的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）為（0，＋∞）上的J函數(shù)，

      ①試比較g（a）與 g（1）的大��；

②求證：對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，…，xn，均有

g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．

47. 設(shè)函數(shù) ，  ．

(Ⅰ)討論函數(shù) 的單調(diào)性； 

(Ⅱ）如果存在 ，使得 成立，求滿足上述條件的最大整數(shù) ；

（Ⅲ）如果對(duì)任意的 ，都有 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

48.選修4-1:幾何證明選講.

如圖，過圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交B,C兩點(diǎn)，且AB= AC,作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)D,己知圓E的半徑為2，  =30.

(1)求AF的長.

(2)求證：AD=3ED. 

49. 在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系.已知曲線  ,已知過點(diǎn) 的直線 的參數(shù)方程為： ，直線 與曲線 分別交于 兩點(diǎn). 

（1）寫出曲線 和直線 的普通方程；

（2）若 成等比數(shù)列,求 的值．

50. 選修4-5：不等式選講

設(shè) 

  （1）當(dāng) ，求 的取值范圍；

  （2）若對(duì)任意x∈R， 恒成立，求實(shí)數(shù) 的最小值．

 

 

2013年高考數(shù)學(xué)(理)押題精粹（課標(biāo)版）

【參考答案與解析】

二．選擇題（30道）

1.【答案】A

2.【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】:集合問題是高考必考內(nèi)容之一，題目相對(duì)簡單.集合的表示法有列舉法、描述法、圖示法三種，高考中與集合的運(yùn)算相結(jié)合，不外乎上述幾種題型。側(cè)重考查簡單的不等式的有關(guān)知識(shí)。

3.【答案】A

【解析】 ，選A.

4.【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】3、4題考查的是復(fù)數(shù)有關(guān)知識(shí)。復(fù)數(shù)主要內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)平面、復(fù)數(shù)概念等，理科一般都只考簡單的復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算，且比較常規(guī)化。

5.【答案】C

6.【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】:上面5、6題是簡易邏輯的內(nèi)容，簡易邏輯內(nèi)容有：命題的或、且、非；四種命題；充分、必要條件；全稱命題和特稱命題。作為高考內(nèi)容的重要組成部分，也是各省高考常見題型，特別是對(duì)充分、必要條件與全稱命題和特稱命題的考查。單獨(dú)考查簡易邏輯相關(guān)的概念不多見，按照近幾年高考真題的特點(diǎn)來講，結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)一同考查是總趨勢，

如5題。一般和不等式相結(jié)合的也時(shí)有出現(xiàn)，如6題。

7.【答案】C

8. 【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】7,8題考查的內(nèi)容是程序框圖。程序框圖題型一般有兩種，一種是根據(jù)完整的程序框圖計(jì)算，如題7；一種是根據(jù)題意補(bǔ)全程序框圖，如題8.程序框圖一般與函數(shù)知識(shí)和數(shù)列知識(shí)相結(jié)合，一般結(jié)合數(shù)列比較多見，特別經(jīng)過多年的高考，越來越新穎、成熟。

9. 【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】C

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角函數(shù)的圖像確定三角函數(shù)的解析式是綜合考察三角函數(shù)知識(shí)的掌握程度的重要手段，再結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移問題，使得這種題型常考常新，作為中檔題是歷年高考考察的重點(diǎn)，如9題；三角函數(shù)求值是歷年高考的�？键c(diǎn)，應(yīng)用三角函數(shù)恒等變換化簡式子并引入?yún)��?shù)是一種創(chuàng)新題型，知識(shí)的綜合程度較高，或許這種題型在未來幾年的高考中會(huì)出現(xiàn)，如10題；結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，綜合分析函數(shù)的性質(zhì)，是對(duì)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的綜合考察，要求知識(shí)的掌握程度為中等，歷年高考對(duì)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的考察亦以中檔容易為主，如11題。

12.【答案】C

13.【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】向量的數(shù)量積是高考的必考點(diǎn)，多以容易和中檔題目出現(xiàn)，常以求向量的模、夾角來考察該知識(shí)點(diǎn)，如12題；有時(shí)也以函數(shù)、解三角形或不等式結(jié)合綜合考察求最值問題，如13題。

14. 【答案】B

15．【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】14題中，三視圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容，在歷年高考中都成為各地高考試卷出題的必考內(nèi)容，多以求體積或表面積為主，本知識(shí)著重考察空間想象力和計(jì)算求解能力；在立體幾何知識(shí)的考察中近幾年多以三視圖或與球結(jié)合的綜合問題，對(duì)球的考察以球的體積或表面積為問題設(shè)置點(diǎn)，利用空間線面關(guān)系確定相應(yīng)一些數(shù)量求解，如15題。

16.【答案】D

17.【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】不等式的考察中，有不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃、基本不等式、簡易邏輯，常以函數(shù)、數(shù)列、向量相結(jié)合考察。16題中線性規(guī)劃求參數(shù)問題也許在未來的高考題中會(huì)同樣出現(xiàn)；17題中以函數(shù)相結(jié)合利用函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值班范圍，也是高考在不等式知識(shí)點(diǎn)出題的熱點(diǎn)。

18.【答案】D

19.【答案】C

20.【答案】B

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】18、19、20、21題為排列組合及概率統(tǒng)計(jì)模塊，此模塊主要考查：頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、幾何概型和古典概型、抽樣（特別是分層抽樣）、排列組合、二項(xiàng)式定理、幾個(gè)重要的分布等，每年會(huì)考其中之一，故應(yīng)特別注意。

22.【答案】C

23、【答案】D 

【點(diǎn)評(píng)】22、23題為數(shù)列模塊，如果不考大題，則會(huì)考兩個(gè)小題，小題以考查數(shù)列概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容為主，屬中低檔題。

24.【答案】C新 課   標(biāo)   第  一 網(wǎng)

25．【答案】B

26.【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】解析幾何模塊主要考查：直線、圓及圓錐曲線的性質(zhì)為主，一般結(jié)合定義，借助于圖形可容易求解，其中雙曲線幾乎是客觀題的必考內(nèi)容,小題特別關(guān)注直線、圓、拋物線、雙曲線以及它們之間綜合.

27．【答案】C

28．【答案】A

29.【答案】A

30．【答案】C

解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 ，由 得 ，即函數(shù)的極小值為 ，所以 。當(dāng) 時(shí)， ，又 ，所以在 上函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即 在 上函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn). ，由 得 ，即函數(shù)的極小值為 ，所以 。當(dāng) 時(shí)， ，又 ， ， ，所以在 上函數(shù) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即 在 上函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù) 的零點(diǎn)均在區(qū)間 內(nèi)，所以 ，即 ，所以 的最小值為10，選C.

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊近幾年一般考查2-3個(gè)小題，主要考查分段函數(shù)、初等函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)、以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合考查是熱點(diǎn).

三．填空題（8道）

31.【答案】 

【解析】由題意知 . .所以 . 

【點(diǎn)評(píng)】向量的填空題數(shù)量積是高考命題的一個(gè)重要方向，一般不是太難，重視基本運(yùn)算。

32.【答案】15

【解析】∵ ，當(dāng) ，即 ，∴含 項(xiàng)的系數(shù)是

 .

【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)式定理多考常規(guī)題，難度不大，一定要記住公式.  .

33.【答案】 

【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃多考常規(guī)題，不過現(xiàn)在常規(guī)題型高考都考過了，加點(diǎn)難度。

34.【答案】 

【點(diǎn)評(píng)】球的組合體是高考每年必考的知識(shí)點(diǎn)，題型不是選擇就是填空。

35.【答案】  

【解析】由題知：此題是幾何概型問題，從而 

點(diǎn)評(píng)：幾何概型是高考常考的題型，理科定積分和幾何概型組合考查也要引起注意。

36.【答案】300

【點(diǎn)評(píng)】推理與證明作為新課標(biāo)的新增知識(shí)點(diǎn)，高考出現(xiàn)是必要的，此題考查了類比推理的應(yīng)用。當(dāng)然歸納推理也要掌握。

37.【答案】       

【點(diǎn)評(píng)】解三角形是高考的重要組成部分，不在客觀題考查，就在解答題中出現(xiàn)，尤其2010年和2011年高考都作為填空題考查。解三角形所涉及的知識(shí)點(diǎn)要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等。

38.【答案】 2   

【點(diǎn)評(píng)】2012年高考解答題考了拋物線，2013年解答題要考橢圓，填空題考查雙曲線或拋物線的定義性質(zhì)。

三．解答題（12道）

39.【解析】

（1） 

 

（2） ，   

 

綜上          

【點(diǎn)評(píng)】高考三角類解答題無非就是兩種，（1）三角函數(shù)題——考查三角函數(shù)的性質(zhì)或圖像；（2）是解三角形，有點(diǎn)省份也會(huì)考解三角形的應(yīng)用題。常常與向量結(jié)合出題。

40.【答案】（Ⅰ）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比數(shù)列

∴        

∴                   

又∵ .　

　∴                      

（Ⅱ）∵ …      ①    

 ∴ 　即 ，又 …     ②     

①－②： 　                 

∴  

 ∴                     

則 … …  

【點(diǎn)評(píng)】新課標(biāo)下對(duì)數(shù)列的考查要求降低，只對(duì)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)和求和要求掌握。其中的一次些常規(guī)方法（錯(cuò)位相減，倒序相加等）特別注意。

41. 【答案】（1）散點(diǎn)圖如右圖所示．

 = = ，

 = = ， 

 ，

  ， ，      

 故這些數(shù)據(jù)的回歸方程是：        

（2）隨機(jī)變量 的可能取值為 ， ，   

    ； ；  

 

 

   故 的分布列為： 

 = + + = 

42.【答案】

 

【點(diǎn)評(píng)】概率題主要考察莖葉圖、抽樣方法、直方圖、統(tǒng)計(jì)案例、線性回歸方程、概率、隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，試題多考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)。這里將其兩兩結(jié)合處理。     

43.【答案】法一：

(Ⅰ)證明： 為平行四邊形

連結(jié) ， 為 中點(diǎn)， 

 為 中點(diǎn)∴在 中 // 　                  

且  平面 ， 平面   

 ∴   

(Ⅱ)：因?yàn)槊? 面 　平面  面  　

 為正方形， ， 平面 

　所以 平面 　∴                    

又 ，所以 是等腰直角三角形，

且 　　　即                        

　 ，且 、  面 　　

 面              

又 面 　　面 面 

(Ⅲ)設(shè) 的中點(diǎn)為 ,連結(jié) , ,

則 由(Ⅱ)知 面 ,　

 ， 面 ， ，

 是二面角 的平面角                        

 中， 　 

 　故所求二面角的正切值為  

法二：如圖,取 的中點(diǎn) , 連結(jié) , .

∵ ,  ∴ .

∵側(cè)面  底面 ,

 ,  

∴ , 

而 分別為 的中點(diǎn),∴ ,

又 是正方形,故 .

∵ ,∴ , .

以 為原點(diǎn),直線 為 軸建立空間直線坐標(biāo)系,

則有 , , , , , .

∵ 為 的中點(diǎn), ∴                     

（Ⅰ）易知平面 的法向量為 而 ,

且 ,   ∴  //平面  

(Ⅱ)∵ ,   ∴ ,

∴ ,從而 ,又 , ,

∴ ,而 ,  

∴平面  平面 ．                             

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 的法向量為 .

設(shè)平面 的法向量為 .∵ ,

∴由 可得 ,令 ,則 ,

故 ∴ ,

即二面角 的余弦值為 ,                      

所以二面角 的正切值為                     

【點(diǎn)評(píng)】空間幾何體的解答題一般以柱體或錐體為背景，考查線面、面面關(guān)系，空間角和距離等，主要用向量方法來處理。去年考的是柱體，今年預(yù)測為錐體。

44．【答案】(Ⅰ)由題意知： ， ，又 ，

解得：  橢圓 的方程為：      

可得： ， ,設(shè) ，則 ， ，

 ， ，即 

由  ，或 

即 ，或   

①當(dāng) 的坐標(biāo)為 時(shí)， ，  外接圓是以 為圓心， 為半徑的圓，即 

②當(dāng) 的坐標(biāo)為 時(shí)， ， ，所以 為直角三角形，其外接圓是以線段 為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 ，

 外接圓的方程為 

綜上可知： 外接圓方程是 ，或 

(Ⅱ)由題意可知直線 的斜率存在.

設(shè) ， ， ， 

由 得： 

由 得： （ ）      

 

 ， 即 

 ，結(jié)合（ ）得：  

 ， 

從而 ， 

 點(diǎn) 在橢圓上， ，整理得： 

即 ， ，或 

【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線大題一般以橢圓和拋物線為主，求標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率為主，并結(jié)合向量、直線和其它知識(shí)點(diǎn)考查學(xué)生的綜合推理、運(yùn)算能力。

45.【答案】

 (1) 設(shè) ，則由于菱形 的中心 在 軸上，頂點(diǎn) 在 軸上，所以 ， ，而 ，所以 ， .

又 ，所以 ，即 .

而 不可能在 軸上，所以頂點(diǎn) 的軌跡 的方程為  .  (5分)

(2) ①設(shè) ， ，  (不妨令 )，則 ，

則 ，

同理 ， ， 

而 ，

因?yàn)?，所以 ，因此 即 ，

所以 ，即直線 與 的斜率之和為定值. 

                (8分)

② 因?yàn)?點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，且縱坐標(biāo)大于0，所以 ， .

由于 ，且 軸，所以 平分 ，

而 ，所以 ， .

從而直線 ，即 ；

直線 ，即 .

由 消去 并整理得 ，

所以 ，即 .

同理 消去 并整理得 .

所以 ，即 .

因此 為所求. 

【點(diǎn)評(píng)】高考對(duì)圓錐曲線這部分主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的綜合應(yīng)用能力，本小題不僅涉及到軌跡的求法、而且涉及到直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)以及圓錐曲線中面積求取知識(shí)的綜合知識(shí). 本小題對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求，符合作為壓軸題的特點(diǎn).

46. 【答案】

（Ⅰ）由 ，可得 ，

因?yàn)楹瘮?shù) 是 函數(shù)，所以 ，即 ，

因?yàn)?，所以 ，即 的取值范圍為 .

（Ⅱ）①構(gòu)造函數(shù) ，

則 ，可得 為 上的增函數(shù)，

當(dāng) 時(shí)， ，即 ，得 ；

當(dāng) 時(shí)， ，即 ，得 ；

當(dāng) 時(shí)， ，即 ，得 . 

②因?yàn)?，所以 ，

由①可知 ，

所以 ，整理得 ，

同理可得 ，…， .

把上面 個(gè)不等式同向累加可得

 .

47.【答案】（Ⅰ） ， ，  

① ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，  

② ， ，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 

  ，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為   

（Ⅱ）存在 ，使得 成立

等價(jià)于： ，

考察 ，  ，        

           

      0   

    遞減 極（最）小值  遞增  

  

由上表可知： ，

 ，              

所以滿足條件的最大整數(shù) ；                   

（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)， 恒成立

等價(jià)于 恒成立，                           

記 ，所以 ,

 ，    .

記 ， ， 

即函數(shù) 在區(qū)間 上遞增，

記 ， ， 

即函數(shù) 在區(qū)間 上遞減，

 取到極大值也是最大值             

所以 。                                

另解 ， ，

由于 ， ,  

所以 在 上遞減，

當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)， ，

即函數(shù) 在區(qū)間 上遞增，

在區(qū)間 上遞減，                               

所以 ，所以 .                 

【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)題似乎已經(jīng)被默認(rèn)高考解答題的最后一題（當(dāng)然個(gè)別省份不是），一般以三次多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)��?shù)函數(shù)為背景，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、研究不等式和方程問題中的綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)極為全面，像46、47題把三種函數(shù)背景都涵蓋在內(nèi)，問題也作了相應(yīng)創(chuàng)新，是很好的高考?jí)狠S題。

48.【答案】 (1) 延長 交圓 于點(diǎn) ，連結(jié) ，則 ，

又 ， ，所以 ，

又 ，可知 . 

所以根據(jù)切割線定理 ，即 .   

 (2) 過 作 于 ，則 與 相似，

從而有 ，因此 .        

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查平面幾何的證明，圖形背景新穎，具體涉及到切割線定理以及三角形相似等內(nèi)容，重點(diǎn)考查考生對(duì)平面幾何推理能力.

49. 【答案】

（Ⅰ） 

（Ⅱ）直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）,

代入 , 得到    

則有 .

因?yàn)?，所以 ，解得 .

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，考查了極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)內(nèi)容同時(shí)。

50.【答案】（1）f(x)＝|x－a|≤3，即a－3≤x≤a＋3．依題意，a－3≤－1，a＋3≥3．

由此得a的取值范圍是[0，2]

（2）f(x－a)＋f(x＋a)＝|x－2a|＋|x|≥|(x－2a)－x|＝2|a|．  

當(dāng)且僅當(dāng)(x－2a)x≤0時(shí)取等號(hào)．      

解不等式2|a|≥1－2a，得a≥ 1 4．

故a的最小值為 1 4．

【點(diǎn)評(píng)】縱觀多年新課標(biāo)高考題，絕大部分年份和省份的高考都以考查絕對(duì)值不等式的解法和性質(zhì)為主，本小題不僅同時(shí)考查了絕對(duì)值不等式的解法和性質(zhì)，并且題問作了相應(yīng)的創(chuàng)新.